Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）若對(duì)于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=﹣1＜0恒成立，

當(dāng)m≠0時(shí)，若f（x）＜0恒成立，

則

解得﹣4＜m＜0

綜上所述m的取值范圍為（﹣4，0]

（2）解：要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，

即m（x﹣ ）2+ m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．

令g（x）=m（x﹣ ）2+ m﹣6，x∈[1，3]

當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）是增函數(shù)，

所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，

解得m＜ ．

所以0＜m＜ 當(dāng)m=0時(shí)，﹣6＜0恒成立．

當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）是減函數(shù)．

所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，

解得m＜6．

所以m＜0．

綜上所述，m＜

【解析】（1）若f（x）＜0恒成立，則m=0或 ，分別求出m的范圍后，綜合討論結(jié)果，可得答案．（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，則m（x﹣ ）2+ m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．