Question

10．已知雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角θ滿足cosθ=-$\frac{1}{3}$，則E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)△ABM是頂角θ滿足cosθ=-$\frac{1}{3}$的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=$\frac{1}{3}$，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再將點(diǎn)M代入雙曲線方程即可求出離心率．

解答 解：不妨取點(diǎn)M在第一象限，如右圖：
∵△ABM是頂角θ滿足cosθ=-$\frac{1}{3}$的等腰三角形，
∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a+$\frac{2a}{3}$，2a•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），即（$\frac{5a}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}a}{3}$），
又∵點(diǎn)M在雙曲線E上，
∴將M坐標(biāo)代入坐標(biāo)得$\frac{25}{9}$-$\frac{32{a}^{2}}{9^{2}}$=1，
整理上式得，b²=2a²，
而c²=a²+b²=3a²，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
因此e=$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：離心率，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．