Question

20．設(shè)函數(shù)$D（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x∈Q\\ 0，x∈{C_R}Q\end{array}\right.$，現(xiàn)有如下論述：
（1）D（x）的值域為{0，1}；（2）D（x）是偶函數(shù)；（3）D（x+1）=D（x）；（4）D（x）是單調(diào)函數(shù)；
上述結(jié)論正確的序號有（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達式，結(jié)合函數(shù)值域，奇偶性，和取值關(guān)系分別進行判斷即可．

解答 解：（1）由分段函數(shù)的表達式得，D（x）的值域為{0，1}；正確
（2）若x∈Q，則-x∈Q，則D（-x）=D（x）=1，
若x∈∁_RQ，則-x∈∁_RQ，則D（-x）=D（x）=0，
綜上恒有D（-x）=D（x），即D（x）是偶函數(shù)；正確
（3）若x∈Q，則x+1∈Q，則D（x）=D（x+1）=1，
若x∈∁_RQ，則x+1∈∁_RQ，則D（x）=D（x+1）=0，
綜上D（x+1）=D（x）；正確
（4）由分段函數(shù)的表達式可得，D（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；
故正確的是（1）（2）（3），
故答案為：（1）（2）（3）

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的值域，奇偶性，單調(diào)性和取值關(guān)系，綜合性較強，考查學(xué)生的分析問題的能力．