Question

10．已知f（x）=x²+x，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f′（a_n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=2x+1，a_n+1=f′（a_n）=2a_n+1．變形為a_n+1+1=2（a_n+1）．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）na_n=n•2ⁿ-n．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）f（x）=x²+x，f′（x）=2x+1，
a_n+1=f′（a_n）=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ．
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）na_n=n•2ⁿ-n．
設數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項和為A_n．
則A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴數(shù)列{na_n}的前n項和S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、導數(shù)的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．