Question

3．對于使f（x）≤M成立的所有常數M中，我們把M的最小值叫作f（x）的上確界，若a，b∈（0，+∞），且a+b=2，則-$\frac{1}{3a}$-$\frac{3}$的上確界為（　�。�

• A． -$\frac{8}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 把要求的式子與所給的條件相乘，整理出能夠使用基本不等式的代數式，利用基本不等式得到函數的最值，得到上確界．

解答 解：∵a，b∈（0，+∞），且a+b=2，
∴-$\frac{1}{3a}$-$\frac{3}$=-$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$）
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+3+$\frac{3a}$+$\frac{3a}$）
≤-$\frac{1}{2}$（$\frac{10}{3}$+2）=-$\frac{8}{3}$，
當且僅當b=3a時即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$時取等號．
∴-$\frac{1}{3a}$-$\frac{3}$的上確界是-$\frac{8}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查基本不等式的應用和新定義問題，本題解題的關鍵是正確求出函數的最值，注意符號不要出錯．