Question

11．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位．已知圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程是2ρcosδ+ρsinδ=6．
（Ⅰ）寫出圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）過圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線，交l于點(diǎn)Q，求|PQ|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）由圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)可得：x²+（y-1）²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出極坐標(biāo)方程．
（II）由直線l的極坐標(biāo)方程2ρcosδ+ρsinδ=6化為直角坐標(biāo)方程：2x+y-6=0．圓上的點(diǎn)P（2cosφ，1+2sinφ）到直線l的距離d，即可得出．

解答 解：（I）由圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=1+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)可得：x²+（y-1）²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-2ρsinθ-3=0．
（II）由直線l的極坐標(biāo)方程2ρcosδ+ρsinδ=6化為直角坐標(biāo)方程：2x+y-6=0．
圓上的點(diǎn)P（2cosφ，1+2sinφ）到直線l的距離d=$\frac{|4cosφ+2sinφ-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{5}sin（φ+α）-5|}{\sqrt{5}}$，
∴|PQ|_max=$\frac{|2\sqrt{5}+5|}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$，|PQ|_min=$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了把極坐標(biāo)方程與直角方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．