Question

已知：x＞y＞0，且xy=1，若x²+y²≥a（x-y）恒成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：轉(zhuǎn)化思想,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由已知把x²+y²≥a（x-y）恒成立轉(zhuǎn)化為a≤

x2+y2

x-y

恒成立，整理后代入xy=1，然后利用基本不等式求最值，從而得到a的取值范圍．

解答： 解：∵x＞y＞0，
由x²+y²≥a（x-y）恒成立，得a≤

x2+y2

x-y

恒成立，
又

x2+y2

x-y

=

(x-y)2+2xy

x-y

，
而x＞y＞0，且xy=1，
∴

x2+y2

x-y

=

(x-y)2+2xy

x-y

=

(x-y)2+2

x-y

=(x-y)+

2

x-y

≥2

(x-y)• 2 x-y

=2

2

，
∴a≤2

2

．
故答案為a≤2

2

．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了基本不等式求最值，是中檔題．