Question

11．（1）將關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜2；
（2）如果關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，求a的取值范圍；
（4）已知m∈R，解關(guān)于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍，去掉絕對(duì)值求出不等式的解集即可；（2）通過(guò)討論x的范圍，去掉絕對(duì)值，求出a的范圍即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需求出|2-x|+|3+x|的最小值大于等于a²-4a即可，根據(jù)絕對(duì)值的意義求出|2-x|+|3+x|的最小值即可；
（4）通過(guò)討論x以及m的范圍去掉絕對(duì)值號(hào)，從而求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）x≥4時(shí)：x-3+x-4＜2，解得：x＜$\frac{9}{2}$，
3＜x＜4時(shí)：x-3+4-x=1＜2，成立，
x≤3時(shí)：3-x+4-x＜2，解得：x＞$\frac{5}{2}$，
故不等式的解集是：{x|$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$}；
（2）①x≥4 時(shí)（x-4）+（x-3）＜a
f（x）=2x-7在x≥4上單調(diào)遞增
x=4時(shí)取最小值1．
若要求不等式無(wú)解，
則a小于或等于該最小值即可．
即a≤1；
②當(dāng)4＞x＞3時(shí)（4-x）+（x-3）＜a
則1＜a
若要求不等式無(wú)解，則a≤1．
否則不等式的解集為全集
③x≤3時(shí)（4-x）+（3-x）＜a
則7-2x＜a
在x≤3區(qū)間，不等式左端的函數(shù)單調(diào)遞減．
在x=3時(shí)取最小值1．
若要求不等式無(wú)解，則a≤1
綜合以上a≤1；
（3）若對(duì)任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，
只需求出|2-x|+|3+x|的最小值大于等于a²-4a即可，
根據(jù)絕對(duì)值的意義得：|2-x|+|3+x|的最小值是5，
∴a²-4a≤5，解得：-1≤a≤5；
（4）已知m∈R，解關(guān)于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x
①當(dāng)x≥m時(shí)：
不等式變?yōu)?1-x≤x-m≤1+x 解得x≥$\frac{m+1}{2}$ （m≥-1），
當(dāng)m＜-1時(shí)：解集是空集，
當(dāng)m≥1時(shí)，得解集 x≥m，
當(dāng)-1≤m≤1時(shí) 得解集 x≥$\frac{m+1}{2}$，
②當(dāng)x≤m時(shí)：
不等式變?yōu)?1-x≤-（x-m）≤1+x 解得：$\frac{m+1}{2}$≤x≤m （m≥1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，絕對(duì)值的幾何意義，以及分類討論思想，是一道中檔題．