Question

13．如圖，已知四邊形ABCD是橢圓3x²+4y²=12的內(nèi)接平行四邊形，且BC，AD分別經(jīng)過橢圓的焦點F₁，F(xiàn)₂．
（Ⅰ）若直線AC的方程為x-2y=0，求AC的長；
（Ⅱ）求平行四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，求出x，得到A，C兩點的坐標(biāo)，利用距離公式求解即可．
（Ⅱ）①當(dāng)直線AD的斜率不存在時，求出三個點的坐標(biāo)，然后求解平行四邊形的面積．
②當(dāng)直線AD的斜率存在時，設(shè)直線AD的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用韋達定理，連結(jié)AF₁，DF₁，表示出面積表達式，然后求解最值．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由$\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，消去y可得：4x²=12，解得$x=±\sqrt{3}$，（2分）
所以A，C兩點的坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$和$（-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，（4分）
所以 $|{AC}|=\sqrt{{{（2\sqrt{3}）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{15}$．（5分）
（Ⅱ）解：①當(dāng)直線AD的斜率不存在時，
此時易得$A（1，\frac{3}{2}）$，$B（-1，\frac{3}{2}）$，$C（-1，-\frac{3}{2}）$，$D（1，-\frac{3}{2}）$，
所以平行四邊形ABCD的面積為|AB|•|AD|=6．（6分）
②當(dāng)直線AD的斜率存在時，設(shè)直線AD的方程為y=k（x-1），
將其代入橢圓方程，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．（8分）
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
則 ${x_1}+{x_4}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_4}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．（10分）
連結(jié)AF₁，DF₁，
則平行四邊形ABCD的面積$S=2{S_{△A{F_1}D}}=\;|{F_1}{F_2}||{y_1}-{y_4}|\;=2|{y_1}-{y_4}|$．（11分）
又 ${（{y_1}-{y_4}）^2}={k^2}{（{x_1}-{x_4}）^2}={k^2}[{（{x_1}+{x_4}）^2}-4{x_1}{x_4}]$=$9×\frac{{16{k^2}（{k^2}+1）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}$．（13分）
又（3+4k²）²-16k²（k²+1）=9+8k²，
所以 $S=6\sqrt{\frac{16{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}=6\sqrt{1-\frac{9+8{k}^{2}}{{（3+4{k}^{2}）}^{2}}}＜6$．
綜上，平行四邊形ABCD面積的最大值是6．（14分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．