Question

1．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸為2，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直線x=my-1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求△OAB面積的最大值；
（3）當(dāng)m∈R時，判斷點(diǎn)G（-2，0）與AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出|y₁-y₂|以及|0N|，表示出三角形OAB面積，利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最大值；
（3）設(shè)AB中點(diǎn)為H（x₀，y₀），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得y₀，再由兩點(diǎn)的距離公式可得|GH|，再由弦長公式，可得|AB|，作差|GH|²-$\frac{1}{4}$|AB|²，化簡整理，即可判斷G與AB為直徑的圓的位置關(guān)系．

解答 解：（1）由題意可得2b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由a²-b²=c²，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線x=my-1代入橢圓的方程可得，
（3+m²）y²-2my-2=0，
判別式為4m²+8（3+m²）＞0恒成立，
y₁+y₂=$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為N（-1，0），
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2m}{3+{m}^{2}}）^{2}+\frac{8}{3+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$|ON||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{2+{m}^{2}}$=t（t≥$\sqrt{2}$），則m²=t²-2，
∴S_△AOB=$\frac{\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{t+\frac{1}{t}}$，
∵t≥$\sqrt{2}$，t+$\frac{1}{t}$是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$，即m=0時，S_△AOB取得最大值，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）AB中點(diǎn)為H（x₀，y₀）．
由（2）可得，y₁+y₂=$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{3+{m}^{2}}$．
G（-2，0），
∴|GH|²=（x₀+2）²+y₀²=（my₀+1）²+y₀²=（1+m²）y₀²+2my₀+1
=（1+m²）•$\frac{{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{2{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$+1，
|AB|²=（1+m²）（y₁-y₂）²=（1+m²）[$\frac{4{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{8}{3+{m}^{2}}$]，
故|GH|²-$\frac{1}{4}$|AB|²=（1+m²）•$\frac{{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{2{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$+1-（1+m²）[$\frac{{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{2}{3+{m}^{2}}$]
=$\frac{1+{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$＞0．
∴|GH|＞$\frac{|AB|}{2}$，故G在以AB為直徑的圓外．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷，考查學(xué)生的運(yùn)算變形能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力．