Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，1）．
（1）求圓M的方程；
（2）若直線l“mx-2y-（2m+1）=0與圓M交于點(diǎn)P，Q，且$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)的坐標(biāo)求出弦的中垂線方程，聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，再求出半徑，則圓的方程可求；
（2）由題意可知∠PMQ=90°，結(jié)合圓的半徑求出圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解．

解答 解：（1）如圖，
AB所在直線方程為x=2，AC所在直線方程為y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得M（2，2），
又|MA|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-2）²=5；
（2）∵$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，∴∠PMQ=90°，
則|PQ|=$\sqrt{10}$，∴M到直線mx-2y-（2m+1）=0的距離為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
由$\frac{|2m-4-2m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得：m=$±\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．