Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}\;-\;\frac{y^2}{b^2}\;=\;1\;（{a＞0，b＞0}）$與圓${x^2}+{y^2}\;={c^2}\;（{c\;=\sqrt{{a^2}+{b^2}}}）$交于A、B、C、D四點(diǎn)，若四邊形ABCD是正方形，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{2+2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{1+\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{1+2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 聯(lián)立雙曲線方程和圓方程，求得交點(diǎn)，由于四邊形ABCD是正方形，則有x²=y²，運(yùn)用雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：聯(lián)立雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$和圓x²+y²=c²，
解得，x²=c²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，y²=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
由于四邊形ABCD是正方形，
則有x²=y²，即為c²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
即c⁴=2b⁴，即c²=$\sqrt{2}$b²=$\sqrt{2}$（c²-a²），
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立雙曲線方程和圓的方程求解交點(diǎn)，考查離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．