Question

13．動直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1只有一個公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限，直線l₁過原點(diǎn)且與l垂直，則P點(diǎn)到直線l₁的距離的最大值為2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作輔助圖象，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＜0），從而聯(lián)立化簡可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，從而可得點(diǎn)P（-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$），寫出直線l₁的方程為x+ky=0，從而得到d=$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}+7}}$，從而確定利用基本不等式確定最大值即可．

解答 解：作輔助圖象如右圖，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＜0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消y得，
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1只有一個公共點(diǎn)P，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
即m²-4k²-3=0，即m=$\sqrt{4{k}^{2}+3}$，
故點(diǎn)P（-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$），
∵直線l₁過原點(diǎn)且與l垂直，
∴直線l₁的方程為x+ky=0，
∴P點(diǎn)到直線l₁的距離d=$\frac{|-\frac{4k}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}+\frac{3k}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}+7}}$，
∵4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)4k²=$\frac{3}{{k}^{2}}$時(shí)，等號成立）；
∴4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$+7≥7+4$\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）²，
故$\frac{1}{\sqrt{4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}+7}}$≤2-$\sqrt{3}$；
故P點(diǎn)到直線l₁的距離的最大值為2-$\sqrt{3}$；
故答案為：2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及橢圓與直線的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用及化簡運(yùn)算能力．