Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)是I的正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)
（1）求證：MN∥平面PAD
（2）若MN=3，求四棱錐P-ABCD的體積

Answer 1

分析 （1）取CD中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，NQ．根據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理得出NQ∥平面PAD，NQ∥平面PAD，從而平面MNQ∥平面PAD，于是MN∥平面PAD．
（2）根據(jù)勾股定理求出NQ的長(zhǎng)，于是PD=2NQ，代入體積公式計(jì)算．

解答 證明：（1）取CD中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，NQ．則NQ是△PCD的中位線，
∴NQ∥PD，∵NQ?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NQ∥平面PAD，
∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，Q是CD中點(diǎn)，
∴MQ∥AD，∵NQ?平面PAD，AD?平面PAD，
∴NQ∥平面PAD，
又∵NQ?平面MNQ，MQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD，∵M(jìn)N?平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PD⊥平面ABCD，NQ∥PD，
∴NQ⊥平面ABCD，∵M(jìn)Q?平面ABCD，
∴NQ⊥MQ，又∵M(jìn)Q=AD=1，∴NQ=$\sqrt{M{N}^{2}-M{Q}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴PD=2NQ=4$\sqrt{2}$．
∴V_棱錐P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}$•PD=$\frac{1}{3}×1×1×4\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，是中檔題．