Question

2．把一個底面邊長和高都為6的正三棱錐（底面是正三角形，從頂點向底面作垂線，垂足是底面的中心的三棱錐）P-ABC的底面ABC放置在平面α上，現(xiàn)讓三棱錐繞棱BC逆時針方向旋轉，使側面PBC落在α內，則在旋轉過程中正三棱錐P-ABC在α上的正投影圖的面積取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{54\sqrt{13}}{13}$，12$\sqrt{3}$]
• B． [$\frac{54\sqrt{13}}{13}$，9$\sqrt{3}$]
• C． [$\frac{48\sqrt{13}}{13}$，12$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{48\sqrt{13}}{13}$，3$\sqrt{39}$]

Answer 1

分析 如圖所示，面PBC⊥面α，正投影圖的面積最小，求出正投影圖的面積最大值，即可得出結論．

解答 解：如圖1所示，當平面PBC⊥平面α時正三棱錐P-ABC在α上的正投影圖的面積最小，
此時PP′=6，P′D=$\sqrt{3}$，PD=$\sqrt{39}$，
所以cos∠PDP′=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$，
當面PBC⊥面α，cos∠ADA′=$\frac{6}{\sqrt{39}}$，
所以A′D=3$\sqrt{3}$×$\frac{6}{\sqrt{39}}$=$\frac{18}{\sqrt{13}}$，
所以S_△A′BC=$\frac{1}{2}×6×$$\frac{18}{\sqrt{13}}$=$\frac{54\sqrt{13}}{13}$．
如圖2所示，當平面ABC在平面α內時正三棱錐P-ABC在α上的正投影圖的面積最大，
此時投影圖的面積=S_△ABC+S_△P′BC，
因為S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{6}^{2}$=9$\sqrt{3}$，S_△P′BC=$\frac{1}{2}$P′D×BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴投影圖的面積=S_△ABC+S_△P′BC=9$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$
所以在旋轉過程中正三棱錐P-ABC在α上的正投影圖的面積取值范圍是[$\frac{54\sqrt{13}}{13}$，12$\sqrt{3}$]．

故選：A．

點評 本題考查圖形的旋轉，考查面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．