Question

18．設(shè)直線y=t與曲線C：y=x（x-3）²的三個交點分別為A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①abc的取值范圍是（0，4）；
②a²+b²+c²為定值；
③c-a有最小值無最大值．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 作出f（x）=x（x-3）²的函數(shù)圖象，判斷t的范圍，根據(jù)f（x）的變化率判斷c-a的變化情況，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（x-3）²-t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出abc，a²+b²+c²，c-a的值進(jìn)行判斷．

解答 解：令f（x）=x（x-3）²=x³-6x²+9x，f′（x）=3x²-12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．
當(dāng)x＜1或x＞3時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，3）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值f（1）=4，當(dāng)x=3時，f（x）取得極小值f（3）=0．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
∵直線y=t與曲線C：y=x（x-3）²有三個交點，∴0＜t＜4．
令g（x）=x（x-3）²-t=x³-6x²+9x-t，則a，b，c是g（x）的三個實根．
∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=18．
由函數(shù)圖象可知f（x）在（0，1）上的變化率逐漸減小，在（3，4）上的變化率逐漸增大，
∴c-a的值先增大后減小，故c-a存在最大值，不存在最小值．
故①，②正確，
故選：C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象，三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．