Question

7．已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和R_n，若不等式$\frac{{R}_{n}}{n}$≤λ•3ⁿ+n+3對(duì)n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，d=2${（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）$求得a₁，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得a_n，由$\frac{b_n}{a_n}={3^{n-1}}$，將a_n，的通項(xiàng)公式代入即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，利用乘以公比“錯(cuò)位相減法”求得數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，即可求得R_n，根據(jù)式$\frac{{R}_{n}}{n}$≤λ•3ⁿ+n+3，采用分離變量$λ≥1-\frac{1}{3^n}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求λ的取值范圍．

解答 解：（1）依題意得d=2${（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）$…（2分）
解得a₁=3…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，即a_n=2n+1．       …（4分）
又?jǐn)?shù)列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴$\frac{b_n}{a_n}={3^{n-1}}$，
∴${b_n}={a_n}•{3^{n-1}}=（2n+1）•{3^{n-1}}$…（7分）
（2）令${T_n}=3+5•3+7•{3^2}+…+（2n+1）•{3^{n-1}}$，
$3{T_n}=\;3•3+5•{3^2}+7•{3^3}+…+（2n-1）•{3^{n-1}}+（2n+1）•{3^n}$，
兩式相減得：$-2{T_n}=3+2•3+2•{3^2}+…+2•{3^{n-1}}-（2n+1）{3^n}$，
$\begin{array}{l}=3+2•\frac{{3（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}-（2n+1）{3^n}\\=-2n•{3^n}\end{array}$，
∴${T_n}=n•{3^n}$…（10分）
∴${R_n}=n•{3^n}+3+5+7+…+2n+1=n•{3^n}+\frac{（3+2n+1）n}{2}$，
=n（3ⁿ+n+2）…（12分）
由$\frac{R_n}{n}≤λ•{3^n}+n+3$對(duì)n∈N₊恒成立可得$λ≥1-\frac{1}{3^n}$對(duì)n∈N₊恒成立，
則λ≥1…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，主要考察采用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，分離變量法求未知數(shù)的取值范圍，考察學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．