Question

20．如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，M，N分別為SA，SC的中點(diǎn)，E為棱SB上的一點(diǎn)，且SE=2EB．
（1）證明：MN∥平面ABCD；
（2）證明：DE⊥平面SBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC，則MN∥AC，由此能證明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）連結(jié)BD，推導(dǎo)出DB⊥BC，SD⊥BC，從而B(niǎo)C⊥平面SDB，BC⊥DE，由題意得△EBD∽△DBS，由此能證明DE⊥平面SBC．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連AC，∵M(jìn)，N分別為SA，SC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，
又∵M(jìn)N?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．（5分）
（Ⅱ）連結(jié)BD，∵BD²=1²+1²=2，BC²=1²+（2-1）²=2，
BD²+BC²=2+2=4=DC²，∴DB⊥BC，
又SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴SD⊥BC，
∵SD∩DB=D，∴BC⊥平面SDB，
∵DE?平面SDB，∴BC⊥DE，
又SB=$\sqrt{S{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
當(dāng)SE=2ED時(shí)，EB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在△EBD與△DBS中，$\frac{EB}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{DB}{BS}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{EB}{BD}$=$\frac{DB}{BS}$，
又∠EBD=∠DBS，∴△EBD∽△DBS，
∴∠DEB=∠SDB=90°，即DE⊥SB．
∵SB∩BC=B，
∴DE⊥平面SBC．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．