Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=3x，若$\frac{1}{2}$$＜a＜\frac{3}{4}$，關(guān)于x的方程ax+3a-f（x）=0在區(qū)間上[-3，2]不相等的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為5．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
若x∈[-1，0]時(shí)，則-x∈[0，1]，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=3x，
∴當(dāng)-x∈[0，1]時(shí)，f（-x）=-3x，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-3x=f（x），
即f（x）=-3x，x∈[-1，0]，
由ax+3a-f（x）=0得a（x+3）=f（x），
設(shè)g（x）=a（x+3），
分別作出函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上[-3，2]上的圖象如圖
∵$\frac{1}{2}$$＜a＜\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{4}$時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線為兩條虛線，
則由圖象知兩個(gè)函數(shù)有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
故方程有5個(gè)不同的根，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．