17.過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦點F作直線y=-$\frac{a}$x的垂線,垂足為A,交雙曲線左支于B點,若$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$,則該雙曲線的離心率為( 。
A.$\sqrt{3}$B.2C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{7}$

分析 根據題意直線AB的方程為y=$\frac{a}$(x-c)代入雙曲線漸近線方程,求出A的坐標,進而求得B的表達式,代入雙曲線方程整理求得a和c的關系式,進而求得離心率.

解答 解:設F(c,0),則直線AB的方程為y=$\frac{a}$(x-c)代入雙曲線漸近線方程y=-$\frac{a}$x得A($\frac{{a}^{2}}{c}$,-$\frac{ab}{c}$),
由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$,可得B(-$\frac{{c}^{2}+2{a}^{2}}{3c}$,-$\frac{2ab}{3c}$),
把B點坐標代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,
即$\frac{({c}^{2}+2{a}^{2})^{2}}{9{c}^{2}{a}^{2}}-\frac{4{a}^{2}}{9{c}^{2}}$=1,整理可得c=$\sqrt{5}$a,
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$.
故選:C.

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質.解題的關鍵是通過分析題設中的信息,找到雙曲線方程中a和c的關系.

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