Question

17．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作直線y=-$\frac{a}$x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點，若$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根據題意直線AB的方程為y=$\frac{a}$（x-c）代入雙曲線漸近線方程，求出A的坐標，進而求得B的表達式，代入雙曲線方程整理求得a和c的關系式，進而求得離心率．

解答 解：設F（c，0），則直線AB的方程為y=$\frac{a}$（x-c）代入雙曲線漸近線方程y=-$\frac{a}$x得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，可得B（-$\frac{{c}^{2}+2{a}^{2}}{3c}$，-$\frac{2ab}{3c}$），
把B點坐標代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
即$\frac{（{c}^{2}+2{a}^{2}）^{2}}{9{c}^{2}{a}^{2}}-\frac{4{a}^{2}}{9{c}^{2}}$=1，整理可得c=$\sqrt{5}$a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是通過分析題設中的信息，找到雙曲線方程中a和c的關系．