Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）判斷數(shù)列{a_n+1}（n∈N^*）是否是等比數(shù)列？
（2）若t=1，令C_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，記T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n（n∈N^*）．求證：①C_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$；②T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1，得到a_n+1+1=2（a_n+1），分a₁=t=-1和a₁=t≠-1，說明數(shù)列{a_n+1}是不是等比數(shù)列；
（2）①由t=1，得a₁+1=2，由等比數(shù)列的通項公式求得${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入C_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，裂項后可得C_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$；
②由T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，裂項相消求和后得答案．

解答 （1）解：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
若a₁=t=-1，則a₁+1=0，數(shù)列{a_n+1}不是等比數(shù)列；
若a₁=t≠-1，則a₁+1≠0，數(shù)列{a_n+1}是首項為t+1，公比為2的等比數(shù)列，
（2）證明：①由t=1，則a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，則${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴C_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，即C_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$；
②T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）+…+（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}＜1$．

點評 本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．