Question

9．平面幾何中，若△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，其三邊長分別為a，b，c，則△ABC的面積$S=\frac{1}{2}（a+b+c）•r$．類比上述命題，若三棱錐的內(nèi)切球半徑為R，其四個(gè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，猜想三棱錐體積V的一個(gè)公式．若三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，其四個(gè)面的面積均為$\sqrt{3}$，根據(jù)所猜想的公式計(jì)算該三棱錐P-ABC的內(nèi)切球半徑R為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{12}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答 解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個(gè)面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，
分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．
則四面體的體積為$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r
∴r=$\frac{3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{3}×4}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．