Question

7．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$sinA（sinB+\sqrt{3}cosB）=\sqrt{3}sinC$．
（1）求角A的大�。�    
（2）若$a=2\sqrt{3}，\;b+c=4$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，又sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可求A．
（2）由已知及余弦定理可解得$bc=\frac{4}{3}$，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由A+B+C=π，得sinC=sin（A+B），代入已知條件得：$sinAsinB+\sqrt{3}sinAcosB=\sqrt{3}sinAcosB+\sqrt{3}cosAsinB$，…（1分）
即：$sinAsinB=\sqrt{3}cosAsinB$，…（3分）
∵sinB≠0，由此得$tanA=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得${（2\sqrt{3}）^2}={（b+c）^2}-2bc-2bc•cos\frac{π}{3}$，…（7分）
即：$12=16-2bc-2bc•\frac{1}{2}$，
∴$bc=\frac{4}{3}$，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}•\frac{4}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．