Question

20．國家旅游局確定2016年以“絲綢之路旅游年”為年度旅游宣傳主題，甘肅武威為配合國家旅游局，在每張門票后印有不同的“絲綢之路徽章”．某人利用五一假期，在該地游覽了文廟，白塔寺，沙漠公園，森林公園，天梯山石窟五處景點(diǎn)，并收集文廟紀(jì)念徽章3枚，白塔紀(jì)念徽章2枚，其余三處各1枚．，現(xiàn)從中任取4枚．
（Ⅰ）求抽取的4枚中恰有3個(gè)景點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）抽取的4枚徽章中恰有文廟紀(jì)念徽章的個(gè)數(shù)為ξ枚，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“抽取的4枚徽章中恰有3個(gè)景點(diǎn)”為事件A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出抽取的4枚中恰有3個(gè)景點(diǎn)的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記“抽取的4枚徽章中恰有3個(gè)景點(diǎn)”為事件A，…（1分）
$P（A）=\frac{C_3^2•（C_2^1•C_3^1+C_3^2）+C_2^2•（C_3^1•C_3^1+C_3^2）}{C_8^4}=\frac{39}{70}$．…（5分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，…（6分）
$p（ξ=0）=\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{5}{70}$，
$p（ξ=1）=\frac{C_3^1C_5^3}{C_8^4}=\frac{30}{70}$，
$p（ξ=2）=\frac{C_3^2C_5^2}{C_8^4}=\frac{30}{70}$，
$p（ξ=3）=\frac{C_3^3C_5^1}{C_8^4}=\frac{5}{70}$，…（10分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

…（12分）
$Eξ=0×\frac{1}{14}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{1}{14}=\frac{21}{14}$=$\frac{3}{2}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．