Question

12．命題p：sinθ-$\frac{1}{tanθ}$=tanθ-$\frac{1}{sinθ}$（0＜θ＜$\frac{π}{4}$）無(wú)實(shí)數(shù)解，命題q：e^x+$\frac{1}{lnx}$=lnx+$\frac{1}{e^x}$無(wú)實(shí)數(shù)解． 給出下列命題：①“p或q”；②“（?p）或q”；③“p且（?q）”； ④“p且q”．其中假命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 對(duì)于命題p：利用$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，1）單調(diào)遞減，由0＜sinθ＜tanθ＜1，即可判斷出真假；
對(duì)于命題q：又 ${e^x}+\frac{1}{lnx}=lnx+\frac{1}{e^x}⇒{e^x}-lnx=\frac{{lnx-{e^x}}}{{{e^x}lnx}}$，當(dāng)x＞0時(shí)，易知e^x-lnx＞0，可得$lnx=-\frac{1}{e^x}$，由同一坐標(biāo)系中y=lnx，$y=-\frac{1}{e^x}$的圖象知，存在x₀∈（0，1），使$ln{x_0}=-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}$，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于命題p：$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，1）單調(diào)遞減，由0＜sinθ＜tanθ＜1，得$sinθ+\frac{1}{sinθ}＜tanθ+\frac{1}{tanθ}（0＜θ＜\frac{π}{4}）$，命題p為真；
對(duì)于命題q：又 ${e^x}+\frac{1}{lnx}=lnx+\frac{1}{e^x}⇒{e^x}-lnx=\frac{{lnx-{e^x}}}{{{e^x}lnx}}$，當(dāng)x＞0時(shí)，易知e^x-lnx＞0，∴$lnx=-\frac{1}{e^x}$，
由同一坐標(biāo)系中y=lnx，$y=-\frac{1}{e^x}$的圖象知，存在x₀∈（0，1），使$ln{x_0}=-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}$，故${e^x}+\frac{1}{lnx}=lnx+\frac{1}{e^x}$有實(shí)數(shù)解，命題q為假．
可知②④為假命題，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．