Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過對f（x）=alnx-bx²（x＞0）求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，通過聯(lián)立方程組，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²、f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，通過討論在[$\frac{1}{e}$，3]上f′（x）的正負(fù)可知函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx-bx²（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-2b=0}\\{f（1）=-b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知，f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x≤e時(shí)，令f′（x）＞0，得$\frac{1}{e}$＜x＜1；
令f′（x）＜0，得1＜x＜e；
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．