Question

16．橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，有下列研究問(wèn)題及結(jié)論：
①曲線$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1_{\;}}（k＜9）$與橢圓C的焦點(diǎn)相同；
②雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓C 的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，頂點(diǎn)是橢圓C的焦點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$；
③若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=8．
④過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)．若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，則k=$\frac{5}{6}$．
則以上研究結(jié)論正確的序號(hào)是①②③．

Answer 1

分析 橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），長(zhǎng)軸端點(diǎn)：（±5，0），短軸端點(diǎn)：（0，±3）．
①由$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，可得此橢圓與橢圓C的焦點(diǎn)相同，即可判斷出正誤；
②雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓C 的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，頂點(diǎn)是橢圓C的焦點(diǎn)，即可得出其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可判斷出正誤；
③由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，設(shè)PO的延長(zhǎng)線與橢圓相交于點(diǎn)Q，則四邊形PF₁QF₂是矩形，因此$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=|F₁F₂|=8，即可判斷出正誤．
④設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程：my=x-4，與橢圓方程聯(lián)立化為（9m²+25）y²+72my-81=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，-y₁=3y₂，化簡(jiǎn)解出m，即可得出k．

解答 解：橢圓C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），長(zhǎng)軸端點(diǎn)：（±5，0），短軸端點(diǎn)：（0，±3）．
①曲線$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1_{\;}}（k＜9）$，由$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，可得此橢圓與橢圓C的焦點(diǎn)相同，正確；
②雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓C 的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，頂點(diǎn)是橢圓C的焦點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，正確；
③若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，設(shè)PO的延長(zhǎng)線與橢圓相交于點(diǎn)Q，則四邊形PF₁QF₂是矩形，因此$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=|F₁F₂|=8，正確．
④設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB方程：my=x-4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-4}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，化為（9m²+25）y²+72my-81=0，∴y₁+y₂=-$\frac{72m}{9{m}^{2}+25}$，y₁y₂=$\frac{-81}{9{m}^{2}+25}$．（*）
∵$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，∴-y₁=3y₂，代入（*）可得：39m²=25，m＞0，解得m=$\frac{5}{\sqrt{39}}$，則k=$\frac{\sqrt{39}}{5}$．因此不正確．
則以上研究結(jié)論正確的序號(hào)是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．