Question

【題目】如圖，已知是上、下底邊長為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折疊，使二面角為直二面角.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）可以以點為原點， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明，或是證明平面，即證明，（2）向量法是分別求兩個平面和的法向量，求法向量夾角的余弦值.

試題解析：解法一：（1）證明由題設(shè)知，，所以是所折成的直二面角的平面角，即.

故可以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則相關(guān)各點的坐標(biāo)是，，，，

從而，，.

所以.

（2）因為，所以.

由（1），所以平面，是平面的一個法向量，

設(shè)是平面的一個法向量，

由取，得.

設(shè)二面角的大小為，由、的方向可知，所以即二面角的余弦值是.

解法二：（1）證明：有題設(shè)知，，

所以是所折成的直二面角的平面角，

即.從而平面，

是在面內(nèi)的射影.

因為，，

所以，，從而，平面.

可得.

（2）由（1），，知平面，

設(shè)，過點作于，連接，則是在平面內(nèi)的射影，由平面可得.

所以是二面角的平面角，

由題設(shè)知，，，

所以，，

從而，又，

所以，即二面角的余弦值.