Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），已知（1，e）在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（I） 求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，直線AF₂與直線BF₁交于點P，|PA|：|PF₂|=|PF₁|：|PB|=3：1，求直線AF₁的斜率．

Answer 1

分析 （I）據(jù)橢圓的性質(zhì)c=1和已知點（1，e）代入橢圓方程，即可求得a²，b²，求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用直線AF₁∥BF₂，設(shè)出AF₁的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，求得A、B坐標，分別求得|AF₁|和|BF₂|，利用|AF₁|：|BF₂|3：1，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：$e=\frac{c}{a}$，c=1，將點（1，e）代入橢圓方程得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由|PA|：|PF₂|=|PF₁|：|PB|及∠APF₁=∠F₂PB，
有△AF₁P∽△F₂PB，則∠AF₁P=∠F₂BP，
∴AF₁∥BF₂，且|AF₁|：|BF₂|=3：1，
設(shè)直線AF₁的方程為y=k（x+1），（由題意k＞0），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
則由A（$\frac{-2{k}^{2}+\sqrt{2{k}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{k+k×\sqrt{2{k}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$），
同理由AF₁∥BF₂有B（$\frac{2{k}^{2}+\sqrt{2{k}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{k×\sqrt{2{k}^{2}+2}-k}{1+2{k}^{2}}$），
則有|AF₁|=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}（1+\sqrt{2{k}^{2}+2}）}{1+{2k}^{2}}$，|BF₂|=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}（\sqrt{2{k}^{2}+2}-1）}{1+{2k}^{2}}$，
∴|AF₁|：|BF₂|=（1+$\sqrt{2{k}^{2}+2}$）：（$\sqrt{2{k}^{2}+2}-1$）=3：1，
解得：k=1，
則直線AF₁的斜率為1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題．