【題目】如圖,已知三棱錐中,平面平面ABC,,,BD=3,AD=1,AC=BC,M為線段AB的中點.
(Ⅰ)求證:平面ACD;
(Ⅱ)求異面直線MD與BC所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)由題意結合幾何關系可得,結合,和線面垂直的判定定理即可證得題中的結論;
(Ⅱ)取AC中點N,連接MN,DN,易知(或其補角)為異面直線MD與BC所成的角,據此結合幾何性質可得異面直線MD與BC所成角的余弦值.
(Ⅲ)結合(Ⅱ)可知為直線MD與平面ACD所成的角,據此可得線面角的余弦值.
(Ⅰ)∵平面平面ABC于AB,,平面ABD,
∴平面ABC,
∴,又,,
∴平面ACD.
(Ⅱ)取AC中點N,連接MN,DN,
∵M是AB中點,
∴,
∴(或其補角)為異面直線MD與BC所成的角,
由(Ⅰ)知平面ACD,
∴平面ACD,,
在中,,,
∴,
即異面直線MD與BC所成角的余弦值為.
(Ⅲ)由(Ⅱ)為直線MD與平面ACD所成的角,在中,,
∴.
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【題目】“割圓術”是劉徽最突出的數學成就之一,他在《九章算術注》中提出割圓術,并作為計算圓的周長,面積已經圓周率的基礎,劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數值,這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確數據.如圖,當分割到圓內接正六邊形時,某同學利用計算機隨機模擬法向圓內隨機投擲點,計算得出該點落在正六邊形內的頻率為0.8269,那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為(參考數據:)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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【題目】在一棟6層樓房里,每個房間的門牌號均為三位數,首位代表樓層號,后兩位代表房間號,如218表示的是第2層第18號房間,現(xiàn)已知有寶箱藏在如下圖18個房間里的某一間,其中甲同學只知道樓層號,乙同學只知道房間號,不知道樓層號,現(xiàn)有以下甲乙兩人的一段對話:
甲同學說:我不知道,你肯定也不知道;
乙同學說:本來我也不知道,但是現(xiàn)在我知道了;
甲同學說:我也知道了.
根據上述對話,假設甲乙都能做出正確的推斷,則藏有寶箱的房間的門牌號是______.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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【題目】如圖已知橢圓,是長軸的一個端點,弦過橢圓的中心,且,.
(Ⅰ)求橢圓的方程:
(Ⅱ)設為橢圓上異于且不重合的兩點,且的平分線總是垂直于軸,是否存在實數,使得,若存在,請求出的最大值,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,直線不與坐標軸垂直,且與拋物線有且只有一個公共點.
(1)當點的坐標為時,求直線的方程;
(2)設直線與軸的交點為,過點且與直線垂直的直線交拋物線于,兩點.當時,求點的坐標.
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【題目】已知且,設命題函數在R上單調遞減,命題對任意實數x,不等式恒成立.
(1)求非q為真時,實數c的取值范圍;
(2)如果命題為真命題,且為假命題,求實數c的取值范圍.
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