Question

5．設(shè)x³+ax+b=0，其中a，b均為實(shí)數(shù)．下列條件中不能使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是（　�。�

• A． a=-3，b=～3
• B． a=0，b=2
• C． a=-3，b=2
• D． a=1 b=2

Answer 1

分析 將選項(xiàng)依次代入，從而化簡(jiǎn)求導(dǎo)以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而解得．

解答 解：對(duì)于A，當(dāng)a=-3，b=-3時(shí)，
令f（x）=x³-3x-3，
則f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
而f（-1）=-1，f（1）=-5，
故x³+ax+b=0有且僅有一個(gè)根；
對(duì)于B，當(dāng)a=0，b=2時(shí)，
令f（x）=x³+2，
則f′（x）=3x²≥0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
故x³+ax+b=0有且僅有一個(gè)根；
對(duì)于C，當(dāng)a=-3，b=2時(shí)，
令f（x）=x³-3x+2，
則f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
而f（-1）=6，f（1）=0，
故x³+ax+b=0有且僅有兩個(gè)根；
對(duì)于D，當(dāng)a=1，b=2時(shí)，
令f（x）=x³+x+2，
則f′（x）=3x²+1≥1，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
故x³+ax+b=0有且僅有一個(gè)根；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．