Question

1．把函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)f（x）的圖象．
（Ⅰ）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{5π}{6}$]時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-m=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖象左右平移和橫向伸縮變換的原則可得到解析式；
（Ⅱ）方程f（x）-m=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于直線(xiàn)y=m與y=sinθ（-$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{3π}{2}$）有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知m范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{6}$），再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)f（x）的圖象，∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$ …（5分）
（Ⅱ）由f（x）-m=0得sin（2x-$\frac{π}{6}$）=m
令2x-$\frac{π}{6}=θ$，由x$∈[0，\frac{5π}{6}]$得$θ∈[-\frac{π}{6}，\frac{3π}{2}]$…（7分）
方程f（x）-m=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于直線(xiàn)y=m與y=sinθ（-$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{3π}{2}$）有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知-$\frac{1}{2}≤m＜1$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中等題．