Question

12．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，設(shè)AC與BD相交于點O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：FC∥平面EAD；
（2）求直線AF與平面BCF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，從而平面FBC∥平面EAD，由此能證明FC∥平面EAD．
（2）連接FO、FD，由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出直線AF與平面BCF所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF．
∵AD?平面FBC，DE?平面FBC，BC?平面FBC，BF?平面FBC，
∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，
又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
解：（2）連接FO、FD，∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF為等邊三角形，
∵O為BD中點，∴FO⊥BD，
又∵O為AC中點，且FA=FC，∴AC⊥FO，
又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz
設(shè)AB=2，因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，OB=1，OA=OF=$\sqrt{3}$，
∴O（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面BCF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)直線AF與平面BCF所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直線AF與平面BCF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．