Question

14．已知函數(shù)f（x）=nx-xⁿ，x∈R，其中n∈N^•，且n≥2．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g（x），求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=a（a為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，求證：|x₂-x₁|＜$\frac{a}{1-n}$+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=nx-xⁿ，可得f′（x），分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況利用導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，0），則可求x₀=n${\;}^{\frac{1}{n-1}}$，f′（x₀）=n-n²，可求g（x）=f′（x₀）（x-x₀），F(xiàn)′（x）=f′（x）-f′（x₀）．由f′（x）=-nx^n-1+n在（0，+∞）上單調(diào)遞減，可求F（x）在∈（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞減，即可得證．
（Ⅲ）設(shè)x₁≤x₂，設(shè)方程g（x）=a的根為${x}_{2}^{′}$，由（Ⅱ）可得x₂≤${x}_{2}^{′}$．設(shè)曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為y=h（x），可得h（x）=nx，設(shè)方程h（x）=a的根為${x}_{1}^{′}$，可得${x}_{1}^{′}$＜x₁，從而可得：x₂-x₁＜${x}_{2}^{′}$-${x}_{1}^{′}$=$\frac{a}{1-n}+{x}_{0}$，由n≥2，即2^n-1=（1+1）^n-1≥1+${C}_{n-1}^{1}$=1+n-1=n，推得：2$≥{n}^{\frac{1}{n-1}}$=x₀，即可得證．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=nx-xⁿ，可得f′（x）=n-nx^n-1=n（1-x^n-1），其中n∈N^•，且n≥2．
下面分兩種情況討論：
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令f′（x）=0，解得x=1，或x=-1，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f′（x）	-	+	-
f（x）

所以，f（x）在 （-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，1）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng) f′（x）＞0，即x＜1時(shí)，函數(shù) f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng) f′（x）＜0，即x＞1時(shí)，函數(shù) f（x）單調(diào)遞減；
所以，f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，0），則x₀=n${\;}^{\frac{1}{n-1}}$，f′（x₀）=n-n²，
曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y=f′（x₀）（x-x₀），即g（x）=f′（x₀）（x-x₀），
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀），則F′（x）=f′（x）-f′（x₀）．
由于f′（x）=-nx^n-1+n在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)镕′（x₀）=0，所以當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
所以F（x）在∈（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞增，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞減，
所以對(duì)應(yīng)任意的正實(shí)數(shù)x，都有F（x）≤F（x₀）=0，
即對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）≤g（x）．
（Ⅲ）證明：不妨設(shè)x₁≤x₂，
由（Ⅱ）知g（x）=（n-n²）（x-x₀），
設(shè)方程g（x）=a的根為${x}_{2}^{′}$，可得${x}_{2}^{′}$=$\frac{a}{n-{n}^{2}}+{x}_{0}$，
由（Ⅱ）知g（x₂）≥f（x₂）=a=g（${x}_{2}^{′}$），可得x₂≤${x}_{2}^{′}$．
類似地，設(shè)曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為y=h（x），
可得h（x）=nx，當(dāng)x∈（0，+∞），f（x）-h（x）=-xⁿ＜0，
即對(duì)于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），
設(shè)方程h（x）=a的根為${x}_{1}^{′}$，可得${x}_{1}^{′}$=$\frac{a}{n}$，
因?yàn)閔（x）=nx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，且h（${x}_{1}^{′}$）=a=f（x₁）＜h（x₁），
因此${x}_{1}^{′}$＜x₁，
由此可得：x₂-x₁＜${x}_{2}^{′}$-${x}_{1}^{′}$=$\frac{a}{1-n}+{x}_{0}$，
因?yàn)閚≥2，所以2^n-1=（1+1）^n-1≥1+${C}_{n-1}^{1}$=1+n-1=n，
故：2$≥{n}^{\frac{1}{n-1}}$=x₀．
所以：|x₂-x₁|＜$\frac{a}{1-n}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，考查分類討論思想、函數(shù)思想和化歸思想，考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．