Question

2．某輛汽車購買時的費用是10萬元，每年使用的保險費、高速公路費、汽油費等約為2萬元，年維修保養(yǎng)費用第一年0.1萬元，以后逐年遞增0.2萬元．設(shè)這輛汽車使用n（n∈N^*）年的年平均費用為f（n）.$（年平均費用=\frac{買車費用+每年用車產(chǎn)生的費用}{使用年數(shù)}）$則f（n）與n的函數(shù)關(guān)系式f（n）=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$；這輛汽車報廢的最佳年限約為10年．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以看出年維修保養(yǎng)費用構(gòu)成以0.1為首項，0.2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項和公式即可求出n年的維修保養(yǎng)費用，而n年的險費、高速公路費、汽油費等為2n萬元，從而可以得出這輛汽車使用n年的總費用，從而可以得出$f（n）=\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$，n∈N^*，而根據(jù)基本不等式即可求出n=10時，f（n）取最小值，即得出這輛汽車報廢的最佳年限約為10年．

解答 解：根據(jù)題意，年維修保養(yǎng)費用構(gòu)成以0.1為首項，0.2為公差的等差數(shù)列；
∴n年的維修保養(yǎng)費用為$0.1n+\frac{n（n+1）}{2}•0.2$；
∴$f（n）=\frac{10+2n+0.1n+\frac{n（n-1）}{2}•0.2}{n}$=$\frac{{n}^{2}+100}{10n}+2$=$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$；
即$f（n）=\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$，n∈N^*；
$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}≥2$；
∴f（n）≥4，當(dāng)$\frac{n}{10}=\frac{10}{n}$，即n=10時取“=”；
∴這輛汽車報廢的最佳年限約為10年．
故答案為：$\frac{n}{10}+\frac{10}{n}+2$，10．

點評 考查等差數(shù)列的概念，以及等差數(shù)列的前n項和公式，根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系式的方法，基本不等式用于求最值，清楚基本不等式等號成立的條件．