Question

1．在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形，設點M，N，P分別是棱AB，BC，B₁C₁的中點．
（1）證明：A₁B₁⊥平面PMN；
（2）求三棱錐P-A₁MN的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三視圖得出三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，利用中位線定理得出MN⊥A₁B₁，PM⊥A₁B₁，從而得出A₁B₁⊥平面PMN；
（2）V${\;}_{棱錐P-{A}_{1}MN}$=V${\;}_{棱錐{A}_{1}-PMN}$=$\frac{1}{3}$•S_△PMN•A₁P．

解答 解：（1）∵三棱柱的正視圖和側(cè)視圖是邊長為1正方形，俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，
∵點M，N，P分別是棱AB，BC，B₁C₁的中點．
∴MN⊥AB，A₁B₁⊥PM，∵A₁B₁∥AB，
∴A₁B₁⊥MN，∵PM∩MN=M，PM?平面PMN，MN?平面PMN，
∴A₁B₁⊥平面PMN．
（2）連結(jié)A₁M，A₁N，
∵PM∥A₁A，MN∥AC，∴∠PMN=∠A₁AC=90°，
∴V${\;}_{棱錐P-{A}_{1}MN}$=V${\;}_{棱錐{A}_{1}-PMN}$=$\frac{1}{3}$•S_△PMN•A₁P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PM×MN×{A}_{1}P$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{24}$．

點評 本題考查了空間幾何體的三視圖，線面垂直的判定，三棱錐的體積計算，是中檔題．