Question

18．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，BC邊上的高為AD．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{AD}$|=1，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$的值；
（Ⅱ）若b=c，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，當(dāng)$\frac{a}$∈（$\sqrt{3}$，2）時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用向量的數(shù)量積的定義和幾何意義，即可得到；
（Ⅱ）若b=c，則D為BC的中點，運用向量的數(shù)量積的定義和余弦定理，結(jié)合中線長公式，再由不等式的性質(zhì)，即可求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|cos∠BAD=|$\overrightarrow{AD}$|²=1；
（Ⅱ）若b=c，則D為BC的中點，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，即為AD²=m（cbcosA）=$\frac{1}{2}$m（c²+b²-a²），
由中線長公式可得a²+4AD²=2（b²+c²），
即有AD²=b²-$\frac{1}{4}$a²，
則有m=$\frac{^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}{^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}}$=1+$\frac{{a}^{2}}{4^{2}-2{a}^{2}}$
=1+$\frac{1}{\frac{4^{2}}{{a}^{2}}-2}$，
由$\frac{a}$∈（$\sqrt{3}$，2），可得$\frac{a}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}$），
即有（$\frac{a}$）²∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$），
則有$\frac{1}{\frac{4^{2}}{{a}^{2}}-2}$∈（-$\frac{3}{2}$，-1）．
故m的范圍是（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和幾何意義，考查余弦定理和中線長公式和不等式的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．