Question

13．設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對任意的a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）試證明：對任意的a，b∈[-1，1]，滿足：f（a）+f（-b）=f（a）-f（b）；
（2）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大�。�
（3）如果g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c²）這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）求出兩個函數(shù)的定義域，根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．

解答 解：（1）由f（x）為[-1，1]上的奇函數(shù)，則
f（a）+f（-b）=f（a）-f（b）成立．   （2分）
（2）設-1≤x₁＜x₂≤1，由奇函數(shù)的定義和題設條件，得：
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=$\frac{f（{x}_{2}）+f（-{x}_{1}）}{{x}_{2}+（-{x}_{1}）}$•（x₂-x₁）＞0，
則f（x）在[-1，1]，上是增函數(shù)．
∵a，b∈[-1，1]，a＞b，
∴f（a）＞f（b）．    （7分）
（3）設函數(shù)g（x），h（x）的定義域分別為P和Q，
則P={x|-1≤x-c≤1}={x|c-1≤x≤c+1}，
Q={x|-1≤x-c²≤1}={x|c²-1≤x≤c²+1}，
于是P∩Q=∅的等價條件是c+1＜c²-1或c²+1＜c-1．
解得c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．      （13分）

點評 本題主要考查出抽象函數(shù)的應用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵．