【題目】已知,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個交點,,線段的中點為.
(1)若,點在橢圓上,、分別為橢圓的兩個焦點,求的范圍;
(2)若過點,射線與橢圓交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時直線斜率;若不能,說明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求得焦點坐標(biāo),設(shè),運用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,結(jié)合橢圓的范圍,可得所求范圍;
(2)設(shè),的坐標(biāo)分別為,,,,運用中點坐標(biāo)公式和點差法,直線的斜率公式,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),即可得到所求斜率.
解:(1)時,橢圓,兩個焦點,,,,
設(shè),可得,即,
,,,,
,
因為,
所以的范圍是;
(2)設(shè),的坐標(biāo)分別為,,,,可得,,
則,兩式相減可得,
,即,
故,又設(shè),,直線,
即直線的方程為,
從而,代入橢圓方程可得,,
由與,聯(lián)立得,
若四邊形為平行四邊形,那么也是的中點,
所以,即,整理可得,
解得,經(jīng)檢驗滿足題意,
所以當(dāng)時,四邊形為平行四邊形.
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【題目】在正方體中,點分別為線段,上的動點,且,則以下結(jié)論錯誤的是( )
A.平面
B.平面平面
C.,使得平面
D.,使得平面
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【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:.
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【題目】某投資人打算投資甲、乙兩個項目,根據(jù)預(yù)測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率分別為30%和10%,投資人計劃投資金額不超過10萬元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元,問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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【題目】在如圖所示的圓柱中,AB為圓的直徑,是的兩個三等分點,EA,FC,GB都是圓柱的母線.
(1)求證:平面ADE;
(2)設(shè)BC=1,已知直線AF與平面ACB所成的角為30°,求二面角A—FB—C的余弦值.
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【題目】隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機的普及,外賣點餐逐漸成為越來越多用戶的餐飲消費習(xí)慣,由此催生了一批外賣點餐平臺.已知某外賣平臺的送餐費用與送餐距離有關(guān)(該平臺只給5千米范圍內(nèi)配送),為調(diào)査送餐員的送餐收入,現(xiàn)從該平臺隨機抽取100名點外賣的用戶進行統(tǒng)計,按送餐距離分類統(tǒng)計結(jié)果如表:
送餐距離(千米) | (0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] |
頻數(shù) | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以這100名用戶送餐距離位于各區(qū)間的頻率代替送餐距離位于該區(qū)間的概率.
(1)若某送餐員一天送餐的總距離為100千米,試估計該送餐員一天的送餐份數(shù);(四舍五入精確到整數(shù),且同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).
(2)若該外賣平臺給送餐員的送餐費用與送餐距離有關(guān),規(guī)定2千米內(nèi)為短距離,每份3元,2千米到4千米為中距離,每份7元,超過4千米為遠距離,每份12元.記X為送餐員送一份外賣的收入(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.
其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.
表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表
一級濾芯更換的個數(shù) | 8 | 9 |
頻數(shù) | 60 | 40 |
圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖
以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.
(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;
(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形ABCD中,,,,將直角梯形ABCD(及其內(nèi)部)以AB所在直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)90°,形成如圖所示的幾何體,其中M為的中點.
(1)求證:;
(2)求異面直線BM與EF所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三個幾何體組合的正視圖和側(cè)視圖均為如下圖所示,則下列圖中能作為俯視圖的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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