Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式2x≤f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+2a|x-1|，x∈[-2，2]的最小值為-1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）在給出的不等式中，令x=1，根據(jù)這個(gè)條件可求出f（1）的值；
（2）聯(lián)立f（1）=2，即可求出a+c與b的關(guān)系式．由f（x）-2x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c≥0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，只有當(dāng)a＞0，且△=（b-2）²-4ac≤0時(shí)，求得a=c＞0，再由f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，可得二次項(xiàng)系數(shù)小于0，判別式小于等于0，解不等式即可得到a的范圍；
（3）討論當(dāng)1≤x≤2時(shí)，當(dāng)-2≤x＜1時(shí)，去掉絕對(duì)值，運(yùn)用二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）令x=1，由2x≤f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²可得，
2≤f（1）≤2，∴f（1）=2；
（2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即為b=2-（a+c），
∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f（x）-2x≥0恒成立，
∴ax²+（b-2）x+c≥0（a≠0）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（b-2）^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a+c）^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$．
可得（a-c）²≤0，但（a-c）²≥0，即有a=c＞0，
則f（x）=ax²+bx+a，
f（x）$≤\frac{1}{2}$（x+1）²恒成立，即為（a-$\frac{1}{2}$）x²+（b-1）x+（a-$\frac{1}{2}$）≤0，
可得a-$\frac{1}{2}$＜0，且△=（b-1）²-4（a-$\frac{1}{2}$）²≤0，
由b-1=1-2a，即有△=0成立；
綜上可得a的范圍是（0，$\frac{1}{2}$）；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+2a|x-1|=ax²+（2-2a）x+a+2a|x-1|（0＜a＜$\frac{1}{2}$），
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，g（x）=ax²+2x-a在[1，2]遞增，可得x=1時(shí)，取得最小值2；
當(dāng)-2≤x＜1時(shí)，g（x）=ax²+（2-4a）x+3a，對(duì)稱軸為x=$\frac{2a-1}{a}$，
當(dāng)$\frac{2a-1}{a}$≤-2，即為0＜a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，[-2，1）遞增，
可得x=-2取得最小值，且為4a-4+8a+3a=-1，解得a=$\frac{1}{5}$；
當(dāng)$\frac{2a-1}{a}$＞-2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
x=$\frac{2a-1}{a}$，取得最小值，且為$\frac{12{a}^{2}-（2-4a）^{2}}{4a}$=-1，
解得a=$\frac{5±\sqrt{21}}{2}$∉（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
綜上可得，a=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是二次函數(shù)解析式問(wèn)題，題中還涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及不等式恒成立問(wèn)題的解法；抓住不等式恒成立的條件，考查二次函數(shù)最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．