Question

6．直線x-y+1=0與橢圓mx²+ny²=1（m，n＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-$\frac{1}{3}$，求雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0）的兩條漸近線所成的夾角的大�。�

Answer 1

分析 把直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x₁+x₂═-$\frac{2}{3}$，求得n和m的關(guān)系，求得漸近線的斜率，進(jìn)而根據(jù)兩條漸近線夾角為漸近線的斜率的兩倍，進(jìn)而根據(jù)正切的二倍角公式求得答案．

解答 解：把直線x-y+1=0與橢圓mx²+ny²=1（m，n＞0）聯(lián)立，消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-$\frac{2n}{m+n}$=-$\frac{2}{3}$
∴$\frac{n}{m}$=$\frac{1}{2}$
∴兩條漸近線夾角的正切值為$\frac{2•\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$
故兩條漸近線所成的夾角的大小為arctan$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．要熟練記憶雙曲線關(guān)于漸近線、焦點(diǎn)、定義等知識(shí)點(diǎn)．