Question

19．已知拋物線T：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A（x₀，y₀）為T上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D為x的正半軸上的點(diǎn)，且有|FA|=|FD|，若x₀=3時(shí)，D的橫坐標(biāo)為5．
（1）求T的方程；
（2）直線AF交T于另一點(diǎn)B，直線AD交T于另一點(diǎn)C，試求△ABC的面積S關(guān)于x₀的函數(shù)關(guān)系式S=f（x₀），并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）由|FA|=|FD|，若x₀=3時(shí)，D的橫坐標(biāo)為5，求出p，即可求T的方程；
（2）設(shè)直線AB方程為：x=ty+1，聯(lián)立拋物線方程，求出|AB|=|AF|+|BF|=（x₀+x₁）+2=${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$+2，再求出C到直線AB：x=ty+1的距離，可得△ABC的面積S關(guān)于x₀的函數(shù)關(guān)系式S=f（x₀），利用基本不等式求其最小值．

解答 解：（1）∵|FA|=|FD|，x₀=3時(shí)，D的橫坐標(biāo)為5，
∴3+$\frac{p}{2}$=5-$\frac{p}{2}$，
∴p=2，
∴T的方程是y²=4x；
（2）知F（1，0），設(shè)A（x₀，y₀），故D（x₀+2，0），
設(shè)直線AB方程為：x=ty+1，聯(lián)立拋物線方程，得：y²-4ty-4=0，
設(shè)B（x₁，y₁），則y₀+y₁=4t，從而x₀x₁=1
|AB|=|AF|+|BF|=（x₀+x₁）+2=${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$+2，
直線AD的方程為y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-x₀），∴x=-$\frac{2}{{y}_{0}}$y+2+x₀，
代入拋物線方程可得${y}^{2}+\frac{8}{{y}_{0}}-8-4{x}_{0}$=0，設(shè)C（x₂，y₂），
∴y₀+y₂=-$\frac{8}{{y}_{0}}$，
∴y₂=-${y}_{0}-\frac{8}{{y}_{0}}$，x₂=${x}_{0}+\frac{4}{{x}_{0}}$+4，
∴C到直線AB：x=ty+1的距離d=$\frac{|\frac{4}{{x}_{0}}+{x}_{0}+4+t（{y}_{0}+\frac{8}{{y}_{0}）-1|}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=4（$\sqrt{{x}_{0}}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}$），
∴△ABC的面積S關(guān)于x₀的函數(shù)關(guān)系式S=f（x₀）=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×4（\sqrt{{x}_{0}}+\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}）$（${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$+2）≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=1時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC的面積S的最小值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．