Question

11．設a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$是定義在R上的偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）直接運用函數(shù)奇偶性性的定義求函數(shù)的解析式；
（2）運用函數(shù)單調(diào)性的定義和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）因為f（x）為R上的偶函數(shù)，
所以，f（-x）=f（x）恒成立，
即$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{-x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{-x}}$，
整理得，（a-$\frac{1}{a}$）•（e^x-e^-x）=0，
所以，a-$\frac{1}{a}$=0且a＞0，解得a=1，
因此，f（x）=e^x+e^-x；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{-{x}_{1}}$）-（${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{-{x}_{2}}$）
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）+（${e}^{-{x}_{1}}$-${e}^{-{x}_{2}}$）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{2}}}$
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{2}}}$，
因為x₂＞x₁＞0，所以，${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，$\frac{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{2}}}$＞0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)．

點評 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法，以及運用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．