Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n+2=4a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=1og₂a_n，數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過在4a_n=3S_n+2中令n=1可得a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，利用4a_n-4a_n-1=3S_n+2-（3S_n-1+2），可得a_n=4a_n-1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）求得b_n=1og₂2^2n-1=2n-1，$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）∵3S_n+2=4a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，3S₁+2=4a₁，
可得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n-4a_n-1=3S_n+2-（3S_n-1+2），
化簡(jiǎn)得：a_n=4a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)、4為公比的等比數(shù)列，
即a_n=2•4^n-1=2^2n-1；
（2）證明：b_n=1og₂a_n=1og₂2^2n-1=2n-1，
即有$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
即為T_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)，利用關(guān)系式得出數(shù)列為等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．