Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}．
（2）設c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時，a₁=S₁；n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，計算即可得到所求通項；
（2）求得c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{4n•4（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）S_n=2n²+2n，可得
n=1時，a₁=S₁=4；
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2n²+2n-2（n-1）²-2（n-1）=4n，對n=1也成立．
故a_n=4n；
（2）c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{4n•4（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n項和為T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關系，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．