Question

2．已知A、B、C、D是函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，A（-$\frac{π}{6}$，0），B為y軸的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，$\overrightarrow{CD}$在x軸方向上的投影為$\frac{π}{12}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$得到函數(shù)g（x）的圖象，已知g（α）=$\frac{1}{3}$，α∈（-$\frac{π}{4}$，0），求g（α+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)想性質(zhì)得出最大值點的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{12}$，A（-$\frac{π}{6}$，0），得出周期T=π，T=$\frac{2π}{ω}$，即可ω，運用A（-$\frac{π}{6}$，0），sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，得出φ=$\frac{π}{3}$kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z，即可求解函數(shù)解析式，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），結(jié)合角的范圍可求cos2α，sin2α，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可求值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵如圖所示，A（-$\frac{π}{6}$，0），B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，$\overrightarrow{CD}$在x軸上的投影為$\frac{π}{12}$，
∴根據(jù)對稱性得出：最大值點的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{12}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{12}$，T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2，
∵A（-$\frac{π}{6}$，0）在函數(shù)圖象上，
∴sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，解得：-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z，
∴φ=$\frac{π}{3}$，故可得函數(shù)f（x）的解析式為：y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ$+\frac{π}{12}$，k$π+\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵由題意可得：g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
∴g（α）=cos2α=$\frac{1}{3}$，
∵α∈（-$\frac{π}{4}$，0），
∴2α∈（-$\frac{π}{2}$，0），可得sin2α=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴g（α+$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos2αcos$\frac{π}{3}$-sin2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$-（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，運用特殊點求解參變量的值，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．