Question

【題目】已知函數f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四個結論：①f（x）是偶函數；②f（x）在（，）上單調遞減；③當θ∈[，]時，有|f（x）|；④當θ∈[，]時，有|f'（x）|；其中所有真命題的編號是( )

A.①③B.②④C.①③④D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

對①直接進行奇偶性的判斷即可，對②③④可用換元法，轉化成二次函數的圖像與性質進行判斷即可.

①函數的定義域為R，

∵f（﹣x）=（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]=（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）=f（x），

∴f（x）是偶函數，即①正確；

②f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1，

設t=cosx，則f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，

∵2（cosθ+1）0，∴二次函數的開口向上，

函數的對稱軸為t，且t的正負與cosθ的取值有關，

∴f（x）在（，）上不一定單調遞減，即②錯誤；

③當θ∈[，]時，cosθ∈[，]，

f（x）=2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1

設t=cosx，則t∈，

則f（t）=2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1，

∵2（cosθ+1）0，∴二次函數的開口向上，

函數的對稱軸為t，

，

，

，

當， 故③錯誤.

④當θ∈[，]時，cosθ∈[，]

有

，故④成立.

故選：D.