Question

17．已知tanα=$\frac{3}{4}$，cos（β-α）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$
（1）求sin²α-sinαcosα的值．
（2）若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，求β的值．

Answer 1

分析 （1）弦化切，即可求sin²α-sinαcosα的值．
（2）利用cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα，求β的值．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{3}{4}$，
∴sin²α-sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α-sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α-tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=-$\frac{3}{25}$；
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=$\frac{3}{4}$，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∵cos（β-α）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$
∴sin（β-α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$
∴cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴β=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查配角方法的運用，屬于中檔題．