Question

16．已知函數(shù)f（x）=1g$\frac{1+x}{1-x}$
（1）求f（x）的定義域；
（2）分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性
（3）求滿足0＜f（x）＜1的x取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題，可令$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解出函數(shù)的定義域，（2）由f（-x）=-f（x），依據(jù)奇函數(shù)定義得出函數(shù)的奇偶性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷出單調(diào)性即可；（3）解不等式求出x的范圍即可．

解答 解：（1）由題意，令 $\frac{1+x}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1，
故函數(shù)的定義域為（-1，1）；
（2）由于f（-x）=lg（ $\frac{1+x}{1-x}$）-1=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，1）時，
y=1-x是減函數(shù)，
y=$\frac{2}{1-x}$是增函數(shù)，
y=$\frac{2}{1-x}$-1是增函數(shù)，
f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$是增函數(shù)，
綜上，函數(shù)的定義域為（-1，1），此函數(shù)是一個奇函數(shù)，也是一個增函數(shù)；
（3）若0＜f（x）＜1，
則1＜$\frac{1+x}{1-x}$＜10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}＞1}\\{\frac{1+x}{1-x}＜10}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{x-1}＜0}\\{\frac{11x-9}{x-1}＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{x＜\frac{9}{11}}\end{array}\right.$
解得：0＜x＜$\frac{9}{11}$，
故x的范圍是（0，$\frac{9}{11}$）．

點評 本題考點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考察了對數(shù)函數(shù)定義域的求法，對數(shù)的運算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，本題考察了推理判斷的能力．