19.已知首項(xiàng)大于0的數(shù)列{an}滿足:an≠0,$\frac{1}{9}$,a1,1成等比數(shù)列,an-an+1=2an+1•an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<$\frac{1}{4}$.

分析 (1)由首項(xiàng)大于0的數(shù)列{an}滿足:$\frac{1}{9}$,a1,1成等比數(shù)列,可得${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{9}$×1,解得a1.由an≠0,an-an+1=2an+1•an(n∈N*).變形為:$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)由${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{(2n+1)^{2}}$<$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,利用“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 (1)解:∵首項(xiàng)大于0的數(shù)列{an}滿足:$\frac{1}{9}$,a1,1成等比數(shù)列,
∴${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{9}$×1,解得a1=$\frac{1}{3}$.
∵an≠0,an-an+1=2an+1•an(n∈N*).
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2,
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列,首項(xiàng)為3,公差為2.
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2(n-1)=2n+1,
∴an=$\frac{1}{2n+1}$.
(2)證明:∵${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{(2n+1)^{2}}$<$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為Tn=$\frac{1}{4}$$[(1-\frac{1}{2})$+$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$=$\frac{1}{4}(1-\frac{1}{n+1})$<$\frac{1}{4}$.
∴Tn$<\frac{1}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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9.已知函數(shù)f(x)=lnx+(a-1)x,h(x)=f(x)-$\frac{1}{2}$ax2
(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性.

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10.有下列命題:
①若函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)對(duì)于任意的x都有f($\frac{π}{6}$+x)=-f($\frac{π}{6}$-x),則f($\frac{π}{6}$)=0;
②正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增;
③曲線g(x)=x2與曲線f(x)=2x有三個(gè)公共點(diǎn);
④若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{a}$;
⑤已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{sin(\frac{π}{2}x)-1,x<0}\\{lo{g}_{a}x(a>0,a≠1),x>0}\end{array}\right.$的圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,$\frac{\sqrt{5}}{5}$).
其中正確命題的序號(hào)是①③⑤.

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7.平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1,直線AB的斜率k1=1,則直線AD的斜率k2=( 。
A.$\frac{1}{2}$B.-$\frac{1}{2}$C.-$\frac{1}{4}$D.-2

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14.一個(gè)三角形在一個(gè)平面上的投影是( 。
A.一個(gè)三角形B.一條線段
C.一個(gè)點(diǎn)D.一個(gè)三角形或一條線段

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4.已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$,|$\overrightarrow$|=1,$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為45°,求使向量(2$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$)與(λ$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$)的夾角是直角的λ的值.

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11.已知點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,總滿足關(guān)系式$\sqrt{{x}^{2}+(y+3)^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+(y-3)^{2}}$=10.
(1)直接寫出點(diǎn)M的軌跡是什么曲線,并求該曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線y=$\frac{5}{4}$x+m與點(diǎn)M的軌跡相交于A、B兩點(diǎn),且△OAB的面積為8(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求常數(shù)m的值.

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8.給出下列三個(gè)集合,指出它們之間的關(guān)系,并加以區(qū)別;A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}.

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9.已知數(shù)列{an},{bn}滿足2Sn=(an+2)bn,其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$,公比為-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=n,a2=3,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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