分析 (1)由首項(xiàng)大于0的數(shù)列{an}滿足:$\frac{1}{9}$,a1,1成等比數(shù)列,可得${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{9}$×1,解得a1.由an≠0,an-an+1=2an+1•an(n∈N*).變形為:$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)由${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{(2n+1)^{2}}$<$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,利用“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 (1)解:∵首項(xiàng)大于0的數(shù)列{an}滿足:$\frac{1}{9}$,a1,1成等比數(shù)列,
∴${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{9}$×1,解得a1=$\frac{1}{3}$.
∵an≠0,an-an+1=2an+1•an(n∈N*).
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2,
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列,首項(xiàng)為3,公差為2.
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2(n-1)=2n+1,
∴an=$\frac{1}{2n+1}$.
(2)證明:∵${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{(2n+1)^{2}}$<$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為Tn=$\frac{1}{4}$$[(1-\frac{1}{2})$+$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$=$\frac{1}{4}(1-\frac{1}{n+1})$<$\frac{1}{4}$.
∴Tn$<\frac{1}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{1}{4}$ | D. | -2 |
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A. | 一個(gè)三角形 | B. | 一條線段 | ||
C. | 一個(gè)點(diǎn) | D. | 一個(gè)三角形或一條線段 |
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